Question

若函数在区间上有两个极值点，则是否存在实数，使对任意的恒成立

Answer 1

题目中:"有三个极值点"先转化为其导数的零点问题,即有三个互异的实即可;存在性问题,由于的单调递减区间是,,只需是或的子集即可. 解:因为函数有三个极值点,所以有三个互异的实根.设,则,当时,,在上为增函数;当时,,在上为减函数;当时,,在上为增函数;所以函数在时取极大值,在时取极小值.当或时,最多只有两个不同实根.因为有三个不同实根,所以且.即,且,解得,且,故.由的证明可知,当时,有三个极值点.不妨设为,,,则.所以的单调递减区间是,若在区间上单调递减,则,或,若,则.由知,,于是.若,则且.由知,.又,当时,;当时,.因此,当时,.所以,且.即.故,或.反之,当,或时,总可找到,使函数在区间上单调递减.综上所述,的取值范围是. 本题考查了导数的几何意义,利用导数求闭区间上函数的最值,恒成立问题的处理方法