Question

已知椭圆G：x^2+y^2/4=1,过点p（0，m）做圆x2+y2=1的切线l，l交椭圆G于A，B两点求椭圆G的焦点坐标和离心率

试将AB的绝对值表示为m的函数，并求AB的绝对值的最大值

Answer 1

a^2=4，b^2=1，c^2=3。所以焦点坐标为(0,√3)、(0,-√3)，离心率e=√3/2。
设直线为y=kx+m，因为直线与圆相切，所以|m|/√(k²+1)=1，所以k²=m²-1
直线与椭圆联立得到(4+k²)x²+2kmx+m²-4=0
△=4k²m²-4(4+k²)(m²-4)=4(m²-1)m²-4(4+m²-1)(m²-4)=48
所以|AB|=√(k²+1)*√△/(4+k²)=4√3|m|/(3+m²)=4√3/(|m|+3/|m|)<=2(当且仅当|m|=√3时等号成立)。
所以|AB|的最大值是2。

Answer 2

a=2 b=1 所以c²=4-1=3 所以焦点坐标为（0，√3）（0，-√3），离心率为√3/2
设直线为y=kx+m，因为直线与圆相切，所以|m|/√(k²+1)=1，所以k²=m²-1
直线与椭圆联立得到(2+k²)x²+2kmx+m²-2=0
△=4k²m²-4(2+k²)(m²-2)=4(m²-1)m²-4(2+m²-1)(m²-2)=8
所以|AB|=√(k²+1)*√△/(2+k²)=2√2|m|/(1+m²)，当m>0时，|AB|=2√2/(1/m+m)<=√2
所以最大值是√2