Question

计算三重积分∭ Ω （√x2+y2+z2）dv，其中Ω是由x2+y2+z2=z所围成的闭球体．

若用球面积分的话，r的范围怎么确定？

Answer 1

由题意，Ω={（r，φ，θ）|0≤θ≤2π，0≤φ≤π，0≤r≤1}
∴
∫∫∫
Ω
(x2+y2+z2)dV＝
∫
2π
0

dθ
∫
π
0

sinφdφ
∫
1
0

r4dr
=2π•[−cosφ
]
π
0

•[
1
5
r5
]
1
0

=
4π
5