Question

已知数列｛an｝满足a1=1,an+an+1=(1/4)n(n∈N*),

sn=a1+4a2+4^2a3+…+4^(n-1)an,类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，求5sn-4^nan

Answer 1

an+a<n+1>=(1/4)n,
以n+1代n,得
a<n+1>+a<n+2>=(1/4)(n+1),
相减得a<n+2>-an=1/4,
a1=1,a1+a2=1/4,a2=-3/4,
a<2k-1>=1+(1/4)(k-1)=(k+3)/4,
a<2k>=-3/4+(1/4)(k-1)=(k-4)/4.
总之，an=[-0.5+(-1)^(n+1)*7.5+n]/8.
sn=a1+4a2+4^2a3+…+4^(n-1)an,①
16sn=..........4^2a1+...+4^(n-1)a<n-2>+4^n*a<n-1>+4^(n+1)an,②
①-②，-15sn=1-3+(1/4)[4^2+4^3+……+4^(n-1)]-4^n[a<n-1>+4an]
=-2-(1/12)(16-4^n)-4^n[-0.5+(-1)^n*7.5+n-1-2+(-1)^(n+1)*30+4n]/8
=(-1/12)(40-4^n)-4^n[5n-3.5-(-1)^n*22.5]/8
=(-1/24){80-4^n[15n-12.5-(-1)^n*67.5]},
∴5sn=(1/72){80-4^n[15n-12.5-(-1)^n*67.5]},
5sn-4^nan=(1/72){80-4^n[24n-17-(-1)^n*135 ]}.
挺繁！

Answer 2

sn=a1+4a2+4^2a3+…+4^(n-1)an
等式两边同乘4，得：
4sn=4a1+4^2a2+4^3a3+…+4^(n-1)a（n-1）+4^nan
两式相加：
5sn=a1+4（a1+a2）+4^2（a2+a3）+…+4^(n-1)【a（n-1）+an】+4^nan
=1+1+1+…+1=n

Answer 3

∵4^n（an+an+1）=1，Sn=a1+4a2+4^2a3+...+4^(n-1)an
4Sn= 4a1+4^2a2+4^3a3+...+4^nan
∴5Sn=4Sn+Sn=a1+(4a1+4a2)+(4^2a2+4^2a3)+(4^3a3+4^3a4)+...+[4^(n-1)a(n-1)+4^(n-1)an]+4^nan=a1+n-1(因为中间有n-1个1么）+4^nan
∴5Sn-4^nan=a1+n-1
∵a1=1
∴原式=n
今天考试出这道题了，搜搜看，没想到还真有，哈哈。