Question

一道高二数学题

已知顶点为坐标原点O的抛物线C1与双曲线C2:(x^2)/a^2-(y^2)/b^2=1(a>0,b>0)都过点M（2/3,2√6/3),且它们有共同的一个焦点F.
(1)求抛物线C1的方程;
(2)求双曲线C2的渐近线方程.
还是这题 设C2的渐近线与C1在第一象限的交点为A，在C2上是否存在满足△ABO的面积等于√2/6的点B，若存在，求出所有符合条件的点B；若不存在，请说明理由. 谢谢了！

Answer 1

[[[1]]]
可设抛物线C1的方程: y²=2px.
∵该抛物线过点M(2/3, 2√6/3)
∴(2√6/3)²=2p(2/3)
∴p=2
∴抛物线C1: y²=4x.
[[[2]]]
易知,抛物线C1的焦点为F(1,0)
由题设可得:
c=1
a²+b²=c²=1
[4/(9a²)]-[8/(3b²)]=1
解得:
a²=1/9, b²=8/9. c²=1
∴双曲线C2: (9x²)-(9y²/8)=1
∴该双曲线的渐近线方程为
(9x²)-(9y²/8)=0
整理就是:
y=±(2√2)x

Answer 2

解：（1）由题意可设抛物线C1的方程为y2=2px． （2分）
把 代入方程y2=2px，得p=2（4分）
因此，抛物线C1的方程为y2=4x． （5分）
于是焦点F（1，0）（7分）
（2）抛物线C1的准线方程为x=-1，
所以，F1（-1，0）（8分）
而双曲线C2的另一个焦点为F（1，0），于是 因此， （10分）
又因为c=1，所以 ．于是，双曲线C2的方程 为 （12分）
因此，双曲线C2的离心率e=3． （14分）点评：本题主要考查了抛物线的标准方程以及双曲线的离心率等有关知识，是一道综

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