Question

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在y轴上，其离心率e=2根号2/3，短轴的一个端点到一个焦点的距离为3

是否存在直线l，使l与椭圆交与不同的两点M,N，且线段M,N恰被直线x=-1/2平分，若存在，请求出l的斜率

Answer 1

短轴的一个端点到一个焦点的距离为a=3,e=c/a=2√2/3，
∴c^2=8,b^2=1,
椭圆方程为y^2/9+x^2=1.
设l:y=kx+m,代入上式，得
（k^2+9)x^2+2kmx+m^2-9=0,
△/4=(km)^2-（k^2+9)(m^2-9)>0,①
线段MN恰被直线x=-1/2平分,
∴x1+x2=-2km/(k^2+9)=-1,
m=(k^2+9)/(2k)②
代入①/(k^2+9)，(k^2+9)/4-(k^2-9)^2/(4k^2)>0,
27k^2-81>0,
k^2>3,
∴k>√3或k<-√3.