Question

将直线x-y+2+λ＝0沿x轴向右平移1个单位，所得直线与圆x^2+y^2+2x-4y-sinθ=0(θ∈R)总有公共点，则实数λ

的最小值是什么

Answer 1

解：直线x-y+2+λ＝0沿x轴向右平移1个单位得到：
x-y+1+λ=0
圆x^2+y^2+2x-4y-sinθ=0(θ∈R)的标准方程为：
(x+1)²+(y-2)²=5+sinθ
直线与圆总有公共点说明直线到圆心的距离总小于等于圆的半径
即：|-1-2+1+λ|/√(1+1)≤√(5+sinθ)恒成立
∴λ²-4λ≤6+2sinθ恒成立
即λ²-4λ≤4
∴2-2√2≤λ≤2+2√2
∴λ的最小值是2-2√2

Answer 2

与圆x²+y²+2x-4y-sina=0 总有公共点
(x+1)²+(y-2)²=5+sina
圆心为 (-1,2) 半径=根号下(5+sina)
x-y+2+入=0向右平移一个单位后为 x-y+1+入=0
总有交点 所以 圆心到此直线的距离总小于等于半径
即：|-1-2+1+入|/根号下2<=根号下(sina+5)
(入-2)²<=sina+5
(入-2)²<=-1+5
(入- 2)²<=4
-2<=入-2<=2
0<=入<=4
所以 入的最小值=0

追问

忘了根号2了，最后的结果是不是应该是2-2√2？

追答

非常滴sorry，
(入-2)²<=2(sina+5)
(入-2)²<=2(-1+5)
(入-2)²<=8
2-2根号下2<=入<=2+2根号下2
所以 最小值=2-2根号下2

Answer 3

将直线向右平移后所得方程应为：(x-1)-y+2+λ=0 ，y=x+1+λ
带入圆方程有
x²+(x+1+λ)²+2x-4(x+1+λ)-sinθ = 0
整理一下
x²+x²+2(1+λ)x+2x-4x-4(1+λ)-sinθ =0
2x²+2λx - [4(1+λ)+sinθ]=0
总有公共点表示上式总有实根。
于是Δ=4λ²-4×2×(4(1+λ）+sinθ ≥0 ,
考察函数g(x)=x²-2(4+4x+sinθ)=x²-8x-(8+2sinθ)
这是一个开口向上的二次函数，令其等于0 求得二次函数与X轴的两个交点
x=(8±√(8²-32-8sinθ)) /2 = 4±√(8-sinθ) 显然sinθ有最大值1和最小值-1,当正负号取-且sinθ取-1时有最小值 x=4-√9 = 4-3 =1
同理也可以求出最大值。