Question

求解一道高中导数题

Answer 1

• f(x)=1-e^(-x) g(x)=x/(ax+1)

1. h(x)=f(lnx)=1-e^(-lnx)=1-e^(ln(1/x)=1-1/x x>0

   M点有公切线：h'(x)=1/x²=g'(x)=[ax+1-ax]/(ax+1)=1/(ax+1)²

   (a²-1)x²+2ax+1=0→x=(-a±1)/(a²-1)→a≠±1

   ∴M点的横坐标x=-1/(a+1) a<-1①或x=-1/(a-1) a<1②,代入

   ①1+(a+1)=-1/(a+1)/[-a/(a+1)+1]=-1/(-a+a+1)=-1→a=-3

   ②1+(a-1)=-1/(a-1)/[-a/(a-1)+1]=-1/(-a+a-1)=1→a=1(舍去)

   ∴a=-3

2. 令h(x)=g(x)-f(x)=x/(ax+1)+e^(-x)-1 x∈[0,+∞)

   h'(x)=1/(ax+1)²-e^(-x)

   驻点x=0

   h''(x)=-2a/(ax+1)³+e^(-x)

   h''(0)=-2a+1

   ∴a<½时，h''(0)>0 x=0是极小值点

   当h(x)的间断点x=-1/a<0(间断点不在定义域内)时，h(x)为连续函数

   h(x)≥h(0)=0 恒成立

   ∴0<a<½

   a=0 a=½时，h(x)为单调递增函数，h(x)≥h(0)=0恒成立

   ∴a∈[0,½]