Question

级数sn=1+1/2+1/3+........1/n,为什么是发散的？

级数sn=1+1/2+1/3+........1/n,为什么是发散的？

Answer 1

简单证一下
A0=1
A1=1/2
A2=1/3+1/4>2*1/4=1/2
A3=1/5+1/6+1/7+1/8>4*1/8=1/2
A4=1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16>8*1/16=1/2
...
如此下去,An是n项的和,
且每一项都大于1/2.
则Sn>A0+A1+A2+A3+A4+....
看出来了吧?

Answer 2

有多种判别方法，给出两种：
第一种，sn=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+……
>1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+……
＝1+1/2+1/2+1/2+……
当然是发散级数

第二种
利用柯西收敛原理来证明：任给ε<1/2abs(S2n-Sn)=1/(n+1)+1/(n+2)+……+1/(n+n)>1/(n+n)+1/(n+n)+……+1/(n+n)=n/(n+n)=1/2>ε