Question

在三角形ABC中，a,b,c分别是A,B,C的对边，且满足(2a-c)cosB=bcosC 求角B的大小

在三角形ABC中，a,b,c分别是A,B,C的对边，且满足(2a-c)cosB=bcosC 求角B的大小

Answer 1

过A作AD垂直BC于D,,，所以角ADB=角ADC=90度，在直角三角形中，由勾股定理得：AB^2=AD^2+BD^2，cosB=BD/AB 在直角三角形ADC中。由勾股定理得：AC*2=AD^2+DC^2，COSC=DC/AC 因为(2a-c)cosB=bcosC，所以（2BD+2DC-AB)/AC=COSC/COSB=DC/AC/BD/AB=DC*AB=BD*AC,所以2BD^2+2DC*BD=2BD(DC+BD)=2BD*BC=AB*BC，所以AB=2BD，在直角三角形ABD中，AB=2BD,，所以角BAD=30度，所以角B=90-30=60度

Answer 2

正玄定理（2a-c)cosB=bcosC
2sinacosb-sinccosb=sinbcosc
即2sinacosb=sinccosb+sinbcosc=sin(b+c)=sina
2cosb=1 b=60

Answer 3

证：
由正弦定理，及(2a-c)cosB=bcosC

得， (2sinA-sinC)cosB=sinBcosC

2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC

2sin[π-(B+C)]cosB=sinBcosC+sinCcosB

2sin[π-(B+C)]cosB=sin[π-(B+C)]

又，A>0

所以B+C<π

所以,cosB=1/2

又0<B<π

∠B=π/3