Question

急！矩阵特征值

①设λ是矩阵A的一个特征值，求证：λ²是A²的一个特征值。
②若A²＝A。求证A的特征值为0或1。
(中间三个A是斜体)要过程，对的追加20分，多谢

Answer 1

(1)、
λ是矩阵A的一个特征值，设其对应的特征向量为x
则Ax=λx，
对等式两边同时左乘矩阵A，
得到A*Ax=A*λx=λ*Ax
而由题意知道Ax=λx，
所以A*Ax=λ*Ax=λ*λx
即A²x=λ²x，
由特征值的定义可以知道，λ²是A²的一个特征值

(2)、若A²=A
则A²-A=0
所以(A-E)A=0，
两个矩阵的乘积为0矩阵，且A-E和A为同阶矩阵，
则 |A-E| 或 |A|=0，
即A-E或A有一个行列式为0，
由特征值的定义可以知道，
A的特征值为0或1