Question

如图,在以AB为直径的半圆中,有一个边长为1的内接正方形CDEF,则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是?求过程

Answer 1

根据韦达定理，如果所求方程为x^2+bx+c=0，则两根之和应该等于-b，两根之积应该等于c，即求出AC和BC长度的和以及积即可。
连接DO，三角形CDO中，CD=CF=1，CO=1/2，根据勾股定理，可以算出DO=根号5/2，即圆半径为根号5。
所以AC+BC=AB=根号5。
同时，AC=AO-CO=根号5/2-1/2=(根号5-1)/2，BC=AB-AC=(根号5+1)/2，即AC*BC=1.
所以所求方程为x^2-(根号5)x+1=0

Answer 2

解：连接AD,BD,OD
∵AB是直径
∴∠ADB=90°
∵四边形DCFE是正方形
∴DC⊥AB
∴∠ACD=∠DCB=90°
∴∠ADC+∠CDB=∠A+∠ADC=90°
∴∠A=∠CDB
∴△ACD∽△DCB
∴AC/DC=DC/BC
∵正方形CDEF的边长为1
∵AC*BC=DC²=1
∵AC+BC=AB
在RT△OCD中，OC²+CD²=OD²
∴OD=1/2*√5
∴AC+BC=AB=√5
以AC和BC的长为两根的一元二次方程是X²-√5x+1=0