Question

一个重积分问题：）

求 被(x^2+y^2)<= z <=(x+2)所定义的空间内体积。
要有详细过程哦，会给追加分的。 XD

Answer 1

解：∵解方程组z=x²+y²和z=x+2，得(x-1/2)²+y²=9/4
∴所求体积在xy平面上的投影是D：(x-1/2)²+y²=9/4
于是，作坐标变换，设x-1/2=rcosθ，y=rsinθ，则dxdy=rdθdr
故 所求体积=∫∫<D>(x+2-x²-y²)dxdy
=∫∫<D>[9/4-(x-1/2)²-y²]dxdy
=∫<0,2π>dθ∫<0,3/2>(9/4-r²)rdr
=2π∫<0,3/2>(9/4-r²)rdr
=-π∫<0,3/2>(9/4-r²)d(9/4-r²)
=[-π(9/4-r²)²/2]│<0,3/2>
=(-π)(0-9²/4²)/2
=81π/32。