Question

sinx在(0,π)的积分=2倍sinx在(0,π/2)，那么为什么(sinx)^m也有这个关系？

m是正整数

Answer 1

这个你可以进行推导，与m的值没有关系
当在π/2-π区间时，因为sin(π-t)=sin(t)，因此二者是相等的

Answer 2

解：为了解题方便，设M=∫xsinxdx/(1+cos2x) ∵M=∫xsinxdx/(1+cos2x) =∫(π-x)sin(π-x)d(π-x)/(1+cos2(π-x)) (用π-x代换x) =-∫(π-x)sinxdx/(1+cos2x) (应用诱导公式) =∫(π-x)sinxdx/(1+cos2x) (交换积分上下限) =π∫sinxdx/(1+cos2x)-∫xsinxdx/(1+cos2x) =-π∫d(cosx)/(1+cos2x)-M =-πarctan(cosx)│-M =-π(arctan(-1)-arctan(1))-M =-π(-π/4-π/4)-M =π2/2-M..........(1) ∴解方程(1)，得2M=π2/2 ==>M=π2/4 故∫xsinxdx/(1+cos2x)=π2/4。