Question

椭圆x^2/4+y^2/1=1 若直线l y=kx+m 与椭圆教育不同两点M N 且MN垂直平分线过定点G（1/8，0）求k的取值范围

Answer 1

椭圆x²/4+y²=1 若直线l： y=kx+m 与椭圆交于不同两点M 、N ，且MN的垂直平分线过定点
G（1/8，0）求k的取值范围
解：设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂).
将y=kx+m代入椭圆方程得x²+4(kx+m)²-4=(1+4k²)x²+8kmx+4m²-4=0
因为直线L与椭圆有两个不同的交点，故其判别式：
Δ=64k²m²-4(1+4k²)(4m²-4)=64k²m²-4(4m²+16k²m²-4-16k²)=64k²-16m²+16>0
即有m²<4k²+1..............(1)
依韦达定理，有：
x₁+x₂=-8km/(1+4k²)；
y₁+y₂=k(x₁+x₂)+2m=-8k²m/(1+4k²)+2m=2m/(1+4k²)；
MN的中点P 的坐标为xp=(x₁+x₂)/2=-4km/(1+4k²)，yp=(y₁+y₂)/2=m/(1+4k²)
故MN的垂直平分线的方程为y=-(1/k)[x+4km/(1+4k²)]+m/(1+4k²).............(2)
定点G(1/8，0)在垂直平分线上，故其坐标满足方程(2)：
-(1/k)[1/8+4km/(1+4k²)]+m/(1+4k²)=0
化简得24km+4k²+1=0，即有m=-(4k²+1)/24k.............(3)
将(3)代入(1)式得：
(4k²+1)²/576k²<4k²+1，(4k²+1)[1-(4k²+1)/576k²]>0
由于对任何k都有4k²+1>0，故得1-(4k²+1)/576k²>0，572k²-1>0，572k²>1，
于是得k<-1/(2√143)或k>1/(2√143).