Question

高等数学求最小值

高等数学求最小值设PQ为抛物线y=x²/4
的弦，它在此抛物线过P点的法线上，求PQ长度的最小值．

Answer 1

在“法线上”，就是说在P点，该弦与抛物线是垂直的。
y'=x/2,
设P（x0,y0),y0=x0²/4
该点，切线斜率x0/2，法线与切线垂直，其斜率为-2/x0，弦的方程：
y=（-2/x0）（x-x0）+y0
=-2x/x0+2+x0²/4
该直线与抛物线的交点方程：
x²/4=-2x/x0+2+x0²/4
x1=x0
（x-x0）（x+x0）/4=-2（x-x0）/x0
（x+x0）/4=-2/x0
x2+x0=-8/x0
x2=-x0-8/x0
y1=x0²/4，y2=（-x0-8/x0）²/4=（x0+8/x0）²/4
弦长PQ²=（x1-x2）²+（y1-y2）²
=（x0+x0+8/x0）²+[x0²/4-（x0+8/x0）²/4]²
=（2x0+8/x0）²+[x0²-（x0+8/x0）²]²/16
=（2x0+8/x0）²+[（2x0+8/x0）（-8/x0）]²/16
=（2x0+8/x0）²+（2x0+8/x0）²（4/x0²）
=4x0²（1+4/x0²）²（1+4/x0²）
=4x0²（1+4/x0²）³
求导：
8x0（1+4/x0²）³+12x0²（1+4/x0²）²（-8/x0³）
=（1+4/x0²）²[8x0(1+4/x0²）-96/x0]
=8（1+4/x0²）²[x0+4/x0-12/x0]
=8（1+4/x0²）²[x0-8/x0]
导数为0，x0-8/x0=0
x0²=8，x0=±2√2，由于对称性，两个解都是正确的；
弦长PQ²最小值=4×8（1+4/8）³=32×（3/2）³=32×27/8=4×27
PQ最小值=2×3√3=6√3；
取：x0=2√2，y0=x0²/4=2；
y'(2√2）=√2，法线斜率=-1/√2；
法线方程：y=-（x-2√2）/√2+2=-x/√2+4
x²/4=-x/√2+4
x²/4+x/√2-4=0
x²+2√2x-16=0，十字相乘：
1,4√2
1，-2√2

---------
（x+4√2）（x-2√2）=0
x2=-4√2，y2=x2²/4=32/4=8
PQ=√[(2√2+4√2)²+（2-8）²]
=√[(6√2)²+6²]
=6√3
正确。

Answer 2

供你参考