Question

设奇函数fx在-1到1上具有二阶导数，且f（1）=1，证明

第二问怎么做

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

f(x)=-f(-x),f(1)=1,f(-1)=-1,
（1）根据中值定理存在ξ∈（-1,1）使得
f'(ξ）=[f(1)-f(-1)]/[1-(-1)]=[1-(-1)]/[1-(-1)]=1
f(0)=-f(-0)=-f(0),2f(0)=0,f(0)=0
根据中值定理存在ξ∈（0,1）
f'(ξ）=[f(1)-f(0)]/[1-0]=[1-0]/[1-0]=1

追问

第一问我会，第二问怎么做

追答

积分法,找到辅助函数：
f''(η）=1-f'(η)
f''(η）/[f'(η)-1]=-1
积分
ln[f'(η)-1]=-η+C
[f'(η)-1]=De^(-η)
e^η[f'(η)-1]=D，辅助函数取g（x）=e^x[f'(x)-1]
根据第一问，有ξ∈（0,1）
f'(ξ）=1
根据奇偶性，-ξ∈（-1,0），f'(-ξ）=1
代入：g(ξ)=g(-ξ)=0
根据中值定理，存在η∈（-ξ，ξ）
g'(η）=0
g（x）=e^x[f'(x)-1]
g'(x)=e^x[f'(x)-1]+e^xf"(x)
e^η[f'(η)-1]+e^ηf"(η)=0
f"(η)+f'(η)-1=0