Question

为什么两幂级数收敛半径相同,收敛域会变大?

高数下的知识

Answer 1

要解决这个问题，我们要从最原始的情况——数项级数乃至数列讲起。幂级数作为函数项级数的一类，相当于数项级数的“升级版”，也就是说，级数的每一项都会随着x的变化而变化，且每一项都是关于x的幂函数。

下面我们回过头来想一下，一个数项级数的收敛条件是什么，也就是说，级数

向左转|向右转

收敛，意味着什么。回顾级数收敛的定义，就可以知道，级数收敛意味着它的部分和序列

向左转|向右转

存在有限的极限值，所以级数收敛还是会归到数列的求和问题。

Answer 2

这句话不是绝对的,收敛半径不变是对的,收敛域缩小（扩大）不一定正确
∑a(n) x^n 积分得 ∑a(n)x^(n+1)/(n+1)
收敛半径 R=lim a(n)/a(n+1)
而 lim[a(n-1)/n] /[a(n]/(n+1)] 仍为R,收敛半径不变
原 ∑a(n) （-R）^n 有可能不收敛,但 ∑ a(n)（- R）^(n+1)/(n+1) 有可能收敛
如 ∑（-1）^n 不收敛,但∑ （- 1）^(n+1)/(n+1) 是交错级数,收敛域扩大了
而对∑ x^n/[n(n+1)] 收敛域为[-1,1]
积分后得 ∑ x^(n+1)/[n(n+1)²] 收敛域不变仍为[-1,1]

备注，我从其他帖子找到的，我只是搬运工。