Question

已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上动点，PA,PB是圆C：x^2+y^2-2y=0的两条切线，A,B是切点，

若四边形PABC的最小面积是2，则k的值

Answer 1

x^2+y^2-2y=0,x^2+y^2-2y+1-1=0,x^2+(y-1)^2=1
C(0,1),AC=BC=半径=1
四边形PABC面积=2*△PAC面积=2*1/2*PA*AC=PA
四边形PABC的最小面积是2
PA最小为2，PA²最小为4
kx+y+4=0,则y=-kx-4，P（x,-kx-4）
PC²=x²+(-kx-4-1)=x²+k²x²+10kx+25=(k²+1)x²+10kx+25
PA²=PC²-AC²=PC²-1=(k²+1)x²+10kx+25-1=(k²+1)x²+10kx+24≥4
(k²+1)x²+10kx+20≥0
由△知 100k²-4(k²+1)*20=0
100k²-80k²-80=0
20k²=80
k²=4
k>0
所以k=2

Answer 2

要使四边形PACB面积最小，只有直线PC与直线kx+y+4=0垂直（由切线可知，三角形PAC中AC为定长，则当斜边PC最小时，另一条直角边PA也最小，及面积最小）所以可设P（x,y）,则有kx+y+4=0；x^2+y^2-2y+1=5（PC的长，由面积为2可知）；（y-1）/x=1/k (直线PC与直线kx+y+4=0垂直)联立可得，k=2