已知定义在R+上的函数f(x)满足下列条件:①对定义域内任意x、y,恒有f(xy)=f(x)+f(y)
已知定义在R+上的函数f(x)满足下列条件:①对定义域内任意x、y,恒有f(xy)=f(x)+f(y);②当x>1时,f(x)<0;③f(2)=-1.(1)求f(8)的值...
已知定义在R+上的函数f(x)满足下列条件:①对定义域内任意x、y,恒有f(xy)=f(x)+f(y);②当x>1时,f(x)<0;③f(2)=-1.
(1)求f(8)的值
(2)求证:函数f(x)在(0,+∞)上为减函数
(3)解不等式:f[2^(x+2)]-f[(2^x)-4]<-3 展开
(1)求f(8)的值
(2)求证:函数f(x)在(0,+∞)上为减函数
(3)解不等式:f[2^(x+2)]-f[(2^x)-4]<-3 展开
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(1)f(4)=f(2)+f(2)=-2
f(8)=f(4)+f(2)=-3
(2) 任取0<x1<x2
f(x2)=f[(x2/x1)x1]=f(x2/x1)+f(x1)
f(x2)-f(x1)=f(x2/x1)
∵0<x1<x2,∴x2/x1>1
当x>1时,f(x)<0
∴f(x2/x1)<0
∴f(x2)-f(x1)<0
∴函数f(x)在(0,+∞)上为减函数
(3)f[2^(x+2)]-f[(2^x)-4]<-3
依题意:
f[2^(x+2)]<f(8)+f[(2^x)-4]
f[2^(x+2)]<f[8(2^x-4)]
f(x)在(0,+∞)上为减函数
∴2^(x+2)>8(2^x-4)
2^x<8
x<3
又 2^x-4>0,∴x>2
不等式解集为(2,,3)
f(8)=f(4)+f(2)=-3
(2) 任取0<x1<x2
f(x2)=f[(x2/x1)x1]=f(x2/x1)+f(x1)
f(x2)-f(x1)=f(x2/x1)
∵0<x1<x2,∴x2/x1>1
当x>1时,f(x)<0
∴f(x2/x1)<0
∴f(x2)-f(x1)<0
∴函数f(x)在(0,+∞)上为减函数
(3)f[2^(x+2)]-f[(2^x)-4]<-3
依题意:
f[2^(x+2)]<f(8)+f[(2^x)-4]
f[2^(x+2)]<f[8(2^x-4)]
f(x)在(0,+∞)上为减函数
∴2^(x+2)>8(2^x-4)
2^x<8
x<3
又 2^x-4>0,∴x>2
不等式解集为(2,,3)
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