Question

已知定义在R+上的函数f(x)满足下列条件:①对定义域内任意x、y,恒有f(xy)=f(x）+f（y）

已知定义在R+上的函数f(x)满足下列条件:①对定义域内任意x、y,恒有f(xy)=f(x）+f（y）；②当x>1时，f（x）<0；③f（2）=-1.
（1）求f（8）的值
（2）求证：函数f（x）在（0，+∞）上为减函数
（3）解不等式：f[2^(x+2)]-f[(2^x)-4]<-3

Answer 1

(1)f(4)=f(2)+f(2)=-2
f(8)=f(4)+f(2)=-3
(2) 任取0<x1<x2
f(x2)=f[（x2/x1)x1]=f(x2/x1)+f(x1)
f(x2)-f(x1)=f(x2/x1)
∵0<x1<x2,∴x2/x1>1
当x>1时，f（x）<0
∴f(x2/x1)<0
∴f(x2)-f(x1)<0
∴函数f（x）在（0，+∞）上为减函数
(3)f[2^(x+2)]-f[(2^x)-4]<-3
依题意：
f[2^(x+2)]<f(8)+f[(2^x)-4]
f[2^(x+2)]<f[8(2^x-4)]
f（x）在（0，+∞）上为减函数
∴2^(x+2)>8(2^x-4)
2^x<8
x<3
又 2^x-4>0,∴x>2
不等式解集为（2,,3）

Answer 2

f(x)=log0.5（X）