Question

一道数学题求学霸解答

Answer 1

设F(x)=f(x)-2
由已知得 任意x,y∈R, F(x+y)=F(x)+F(y),且x>0时,F(x)=f(x)-2<0
(1) F(0+0)=F(0)+F(0),得F(0)=0
F(x)+F(-x)=F(x+(-x))=F(0)=0,即F(-x)=-F(x)
F(x)是奇函数
任取x1<x2, F(x2-x1)<0
F(x1)-F(x2)=F(x1)-F(x1+(x2-x1))
=F(x1)-F(x1)-F(x2-x1)=-F(x2-x1)>0
得F(x)是R上的减函数
所以 f(x)=F(x)+2是R上的减函数
(2) ①F(-1)+F(1)=0,f(-1)-2+f(1)-2=0
又f(-1)=3 得 f(1)=1
②f(mx²-3x)+f(x)=f(mx²-3x+x)+2=f(mx²-2x)+2
f(mx²-2x)+2=3,f(mx²-2x)=f(1)
f(x)是R上的单调函数
得 mx²-2x=1
由已知m的取值范围就是函数 m=(2x+1)/x² (x<0)的值域
设t=1/x,则t<0
m=t²+2t=(t+1)²-1
t∈(-∞,0)时的值域是[-1,+∞)
所以 m的取值范围是[-1,+∞)

Answer 2

解：依题意：则有：f(2x)=f(x+x)=f(x)+f(x)-2=2f(x)-2<2......(i)； 即：2f(x)<4, f(x)<2;
（1）由式（i）可以得：f(2x)-f(x)=f(x)-2<0, 由此可知，f(x)是减函数；
证明：f(x+△x)=f(x)+f(△x)-2, 则：f(x+△x)-f(x)=f(△x)-2; 等式两边同时除以△x并取极限，得：
lim(x→0+) [ f(x+△x)-f(x)]/△x=f'(x)=[f(△x)-2]/△x<0 (f(x)<2), 所以f(x)在x>0区间是单调减函数。原结论得证。
（2）1) 若f(-1)=3, 有:3=f(0+(-1))=f(0)+f(-1)-2=f(0)+3-2=f(0)+1,f(0)=2;
2=f(0)=f(1+(-1))=f(1)+f(-1)-2=f(1)+3-2=f(1)+1; f(1)=1;
2) f(mx^2-3x+x)=f(-1)=3, 即：mx^2-2x=-1,mx^2-2x+1=0;
△=(-4)^2-4m≥0, 4m≤16， m≤4。

Answer 3

Answer 4