Question

高等数学]不定积分第二类换元法换了的新元的值域一定要和原来的元的定义域一样嘛

Answer 1

新元的值域要与旧元的定义域相等或大一些，但不能小。

追问

比如x不能用根号u带吗

追答

如果x∈R，就不能令x=√u；如果x∈[0，+∞)，那么可令x=√u。

追问

但是好像书上都没有明确指出，只是说单调可导即可

追答

设x=φ(u)单调可导，且φ'(u)≠0，dx=φ'(u)du；则可作变换：
∫f(x)dx=∫f[φ(u)]φ'(u)du，这就是第二种换元法。
新元φ(u)的值域要等于或大于旧元x的定义域，上面没有明说，
但在实际应用中，这是很明确的。举几个例子：
∫[(sin√x)/√x]dx：作替换：x=u²，dx=2udu；00，即x²-a²=(x+a)(x-a)<0，得 -a<x<a(旧元定义域)；
-a≦asinu≦a,(新元值域)，这还是新元值域略大于旧元定义域的例子。
√[√(a²-x²)/x^4]dx：作替换 x=1/u；-a≦x≦a且x≠0(旧元定义域)；
-∞<1/u<+∞(新元值域)；这是新元值域比旧元定义域大很多的例子。
找不出新元值域比旧元定义域小的例子。

追问

还有一个问题，是不是初等函数的定义域不一定是其连续区间，但是如果定义域是几个区间的并集那么定义域就是连续区间

谢谢

而且好像倒带换x不能为0也就是值域不能为0但是旧元的定义域包含0

追答

你是指第3个例子，是吗？若是，-a≦x≦a且x≠0(旧元定义域)，不含0.
补充两句：如果新元的值域比旧元的定义域小，求出来的结果就不能
适应原来那个被积函数的全部定义域，结果必然时错误的。