Question

求双曲线的离心率

已知原点为o，过双曲线x的平方比a的平方减去Y的平方比b的平方等于1的右焦点F作两条渐近线的垂线FA，FB，垂足分别为A，B，若在四边形OAFB内随机撒细沙，落在三角形AFB内的概率为三分之一，则双曲线的离心率为?

Answer 1

由F(c，0)向渐近线y=bx/a 作垂线，垂足为A，垂线方程为y=-(a/b)(x-c)，
联立，得bx/a=-(a/b)(x-c)
b²x=-a²x+a²c，(a²+b²)x=a²c，c²x=a²c，x=a²/c，
即A的横坐标为a²/c，从而A在右准线上，同理，B也在右准线上。
由于在四边形OAFB内随机撒细沙，落在三角形AFB内的概率为三分之一，
设右准线与x轴的交点为D，则OD=(2/3)OF，
所以 a²/c=(2/3)c，即 c²/a²=3/2，e=c/a=√6/2
双曲线的离心率√6/2

追问

额。。。焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长，这个怎么理解的，应该是到两条渐近线的距离都等于虚半轴的长吗？我是不是理解错了？那要是相等的话，好像概率就不是三分之一了吧，我觉得应该是二分之一。。。好吧，我很虚心向你请教。。。

好吧，我不知道你刚才有没有收到我的追问，我发现我题目看错了，不好意思。。。那如果是我说的那个用虚半轴的长来做，怎么做?抱歉，我有点话多

追答

用面积法。就是用两种方法求四边形OAFB的面积。
由于|FA|=|FB|=b，又|OF|=c，所以 |OA|=|OB|=a
所以 四边形OAFB的面积为S=ab，
另外，设AB 与x轴的交点为D，设|AD|=|BD|=h
则四边形OAFB的面积为S=ch，
从而 ab=ch，h=ab/c
所以 |DF|²=b²-h²=b²-a²b²/c²=(b²c²-a²b²)/c²=b⁴/c²
|DF|=b²/c
从而 三角形FAB的面积 S1=|DF|•h=(b²/c)•(ab/c)=ab³/c²
由条件 ab³/c²=(1/3)ab，
即 b²=(1/3)c²，
所以 a²=c²-b²=(2/3)c²，
e=c/a=√6/2
刚打错了一个字母。

Answer 2

已知原点为o，过双曲线x的平方比a的平方减去Y的平方比b的平方等于1的右焦点F作两条渐近线的垂线FA，FB，垂足分别为A，B，若在四边形OAFB内随机撒细沙，落在三角形AFB内的概率为三分之一，则双曲线的离心率为?
离心率√6/2