Question

已知椭圆C:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>b>0)经过点(0,1),离心率e=根号3/2.

设直线x=my+1与椭圆C交于A,B两点，点A关于x轴的对称点为A',试问，当m变化时直线A'B与x轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论，若不是，请说明理由
求椭圆C的方程

Answer 1

解：椭圆方程只能是x^2/a^2+y^2/b^2=1，所以原题“椭圆C:x^2/a^2-y^2/b^2=1”是笔误。过点(0,1)得0^2/a^2+1^2/b^2=1，得b=1。离心率e=√3/2及a>b>0得e=√3/2=c/a=√(a^2-b^2)/a=√(a^2-1)/a，解得a=2。于是椭圆C的方程为(x/2)^2+y^2=1
联立(x/2)^2+y^2=1与x=my+1，将后者代入前者得
(m^2+4)y^2+2my-3=0
设A(my1+1,y1),B(my2+1,y2),则A'(my1+1,-y1)
由韦达定理得
ya+y2=-2m/(m^2+4)
y1y2=-3/(m^2+4)
直线A'B的方程为
(y-y2)/[x-(my2+1)]=[y2-(-y1)]/[(my2+1)-(my1+1)]
也即(y-y2)/[x-(my2+1)]=(y2+y1)/[m(y2-y1)]
令y=0，得直线A'B与x轴交点的横坐标为
x=my2+1-my2(y2-y1)/(y2+y1)=(2my1y2+y1+y2)/(y1+y2)=1+2my1y2/(y1+y2)
=1+2m[-3/(m^2+4)]/[-2m/(m^2+4)]=4
故当m变化时，直线A'B与x轴交于一个定点P(4,0)。

Answer 2

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