Question

为什么正四面体内接球半径+外接球半径=正四面体的高

Answer 1

设正四面体为P-ABC，棱长为1，作高PH，H是正△ABC的外心（内、重、垂），
连结AH交BC于D，
AD=√3/2，AH=2AD/3=√3/3，（重心性质），
PH=√（PA^2-AH^2)=√6/3，
设外接球心为O，外接球半径为R，
OH^2+AH^2=R^2，
（√6/3-R)^2+（√3/3）^2=R^2,
∴R=√6/4，
设内切球心为O1，内切球半径为r,连结O1P、O1A、O1B、O1C，
正四面体分成4个小棱锥，其高为内切球的半径r,设每个正三角形面积为S，
则总体积V=4*(r*S/3)=4rS/3,
VP-ABC=S*PH/3=（√6/3）S/3=√6S/9，
4rS/3=√6S/9，
r=√6/12，
R+r=√6/4+√6/12）=√6/3，
PH=√6/3，
∴PH=R+r,且外接球心和内切球心为同一心。

Answer 2

设正四面体为P-ABC，棱长为1，作高PH，H是正△ABC的外心（内、重、垂），
连结AH交BC于D，
AD=√3/2，AH=2AD/3=√3/3，（重心性质），
PH=√（PA^2-AH^2)=√6/3，
设外接球心为O，外接球半径为R，
OH^2+AH^2=R^2，
（√6/3-R)^2+（√3/3）^2=R^2,
∴R=√6/4，
设内切球心为O1，内切球半径为r,连结O1P、O1A、O1B、O1C，
正四面体分成4个小棱锥，其高为内切球的半径r,设每个正三角形面积为S，
则总体积V=4*(r*S/3)=4rS/3,
VP-ABC=S*PH/3=（√6/3）S/3=√6S/9，
4rS/3=√6S/9，
r=√6/12，
R+r=√6/4+√6/12）=√6/3，
PH=√6/3，
∴PH=R+r,且外接球心和内切球心为同一心。 已赞同2| 评论