Question

三角形ABC是等腰直角三角形，角ACB=90度，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E,交AD于点F.

求证：角ADC=角BDE
思考方向

Answer 1

分析：∠ADC和∠BDE所在的三角形肯定不全等，那么本题需要作辅助线．△ABC是等腰直角三角形，常用的辅助线是做三线里面的一线．可发现要证全等，已包含两个条件需利用全等得到另一边对应相等．

 

(第一种方法）

解答：解：作CH⊥AB于H交AD于P，

∵在Rt△ABC中，AC=CB，∠ACB=90°，

∴∠CAB=∠CBA=45°．

∴∠HCB=90°-∠CBA=45°=∠CBA．

又∵BC中点为D，

∴CD=BD．

又∵CH⊥AB，

∴CH=AH=BH．

又∵∠PAH+∠APH=90°，∠PCF+∠CPF=90°，∠APH=∠CPF，

∴∠PAH=∠PCF．

在△APH与△CEH中

∠PAH=∠ECH，AH=CH，∠PHA=∠EHC，

∴△APH≌△CEH（ASA）．

∴PH=EH，

又∵PC=CH-PH，BE=BH-HE，

∴CP=EB．

在△PDC与△EDB中

PC=EB，∠PCD=∠EBD，DC=DB，

∴△PDC≌△EDB（SAS）．

∴∠ADC=∠BDE．

（第二种方法）

过点B作BG⊥CB于点B，延长CE至点G

思路：证△ CAD≌△BCG（AAS)或(SAS)

 ∵D为 CB 中点， CD= BG

∴DB=BG

证∠CBA=45°

∴∠GBA=45°

∴△EDB≌△EGB

∴∠EGB=∠EDB

∴∠ EDB=∠CDA

Answer 2

证明：过点C作CH平分∠ACB交AD于H
∵CH平分∠ACB，∠ACB=90
∴∠ACH= ∠DCH=45
∵∠ACB=90 AC=BC
∴∠B=∠BAC=45
∴∠B=∠DCH=∠ACH
∵CF⊥AD
∴∠ACF+∠CAF=90°
∵∠ACF+∠DCF=90°
∴∠CAF=∠DCF
∵ AC=BC ∠ACH=∠B
∴△ACH全等于△CBE
∴CH=BE
∵∠DCH=∠B CD=BD
∴△CDH 全等于△BDE
∴∠ADC=∠BDE

Answer 3

解：作CH⊥AB于H交AD于P，
∵在Rt△ABC中，AC=CB，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°．
∴∠HCB=90°-∠CBA=45°=∠CBA．
又∵BC中点为D，
∴CD=BD．
又∵CH⊥AB，
∴CH=AH=BH．
又∵∠PAH+∠APH=90°，∠PCF+∠CPF=90°，∠APH=∠CPF，
∴∠PAH=∠PCF．
在△APH与△CEH中
∠PAH=∠ECH，AH=CH，∠PHA=∠EHC，
∴△APH≌△CEH（ASA）．
∴PH=EH，
又∵PC=CH-PH，BE=BH-HE，
∴CP=EB．
在△PDC与△EDB中
PC=EB，∠PCD=∠EBD，DC=DB，
∴△PDC≌△EDB（SAS）．
∴∠ADC=∠BDE．

Answer 4

解：作CH⊥AB于H交AD于P，
∵在Rt△ABC中AC=CB，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°．
∴∠HCB=90°-∠CBA=45°=∠CBA．
又∵中点D，
∴CD=BD．
又∵CH⊥AB，
∴CH=AH=BH．
又∵∠PAH+∠APH=90°，∠PCF+∠CPF=90°，∠APH=∠CPF，
∴∠PAH=∠PCF．
又∵∠APH=∠CEH，
在△APH与△CEH中
∠PAH=∠ECH，AH=CH，∠PHA=∠EHC，
∴△APH≌△CEH（ASA）．
∴PH=EH，
又∵PC=CH-PH，BE=BH-HE，
∴CP=EB．
在△PDC与△EDB中
PC=EB，∠PCD=∠EBD，DC=DB，
∴△PDC≌△EDB（SAS）．
∴∠ADC=∠BDE．