Question

椭圆x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0），左右焦点分别为F1，F2，右顶点为A,上顶点为B,P为椭圆

椭圆x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0），左右焦点分别为F1，F2，右顶点为A,上顶点为B,P为椭圆 椭圆x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0），左右焦点分别为F1，F2，右顶点为A,上顶点为B,P为椭圆上第一象限内一点，S△PF1F2，S△PAF2，S△PBF1
1）若S△PF1F2=S△PAF2,求椭圆离心率
2）若S△PF1F2=S△PAF2=S△PBF1，求直线PF1的斜率K
3)若S△PAF2，S△PF1F2，S△PBF1成等比数列，椭圆离心率1/4≤e＜1，求直线PF1的斜率k的取值范围

Answer 1

（1）若S△PF1F2=S△PAF2，则 F1F2=F2A 2c=a-c a=3c e=c/a=1/3
(2)若S△PF1F2=S△PAF2=S△PBF1 则F1P到F2，到B的距离相等。设F1=（--c,0） F2=(c,0) A=(3c,0) B=(0,b) b^2=8c^2 直线F1P方程：(y-0)/(x+c)=k kx-y+ck=0 用点到直线的距离公式，得：kc-0+ck=+-(0*k-b+ck) 取+ p不在第一象限，
取--，2ck=b-ck k=b/3c=(2根2)/3
（3）设F1=（--c,0） F2=(c,0) A=(a,0) B=(0,b) a^2=b^2+c^2
直线F1P的斜率为K， 方程：(y-0)/(x+c)=k kx-y+ck=0 用点到直线的距离公式,得：
F2到直线距离 （kc-0+ck)/根（k^2+1） B到直线距离 -(0*k-b+ck) /根（k^2+1）
则S△PAF2/S△PF1F2=(a-c)/(2c)，S△PF1F2/S△PBF1=(2ck)/(b-ck)
那么 (a-c)/(2c)=(2ck)/(b-ck) 4c/(a-c)+1=(b-ck)/(ck)+1 (a+3c)/(a-c)=b/ck
k=b(a-c)/c(a+3c) 此处可假定c=1 因为已知1/4≤e＜1 即 1/4≤1/a＜1 4>=a>1
b^2=a^2-c^2=a^2-1>1-1 b^2<=16-1 0<k≤（根15)*(3/7)

追问

麻烦帮我看一下这个，谢谢了
f(x)=1/2x²+（3/4a²+1/2a)Inx-2ax
(1)当a=.-1/2时，求f(x)的极值点
（2）若函数f(x)在其导函数的单调区间上也是单调的，求实数a的范围

Answer 2

1) 1/3
2) 2√2/3
3) 0<k≤3√15/7

追问

第三题这么做，过程

追答

设直线F1P方程：kx-y+ck=0，点F2和点B到直线F1P的距离分别为2kc和│kc-b│。由题意知S△PAF2／S△PF1F2＝S△PF1F2／S△PBF1，即(a-c)/2c=2kc/│kc-b│，这里须进行讨论
1)当kc≤b时，化简得：k=b(a-c)/3c(a+c),将b=√a2-c2及e=c/a带入，得到k=(1-e)√1-e2/(3e2+e),显然在区间【1/4,1)上，k关于e单调递减，带入即可求的k的取值范围为0b时，求得k=(e-1)√1-e2/(5e2-1),显然此时kb/c>0】故此情况不符合题意。
综上，直线直线PF1的斜率k的取值范围为0<k≤3√15/7

追问

能不能再帮我看一下这道题，谢谢
半径为1圆心角为3π/2的圆弧AB上有一点C
（1）,若C为圆弧AB中点,D在线段OA上运动,求OC向量+OD向量的绝对值的最小值
（2）若D,E分别为OA,OB的中点，当C在圆弧AB上运动时，求CE向量乘DE向量的取值范围

Answer 3

我傻了，直接把绝对值平方了，悲催啊