Question

在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在X轴、Y轴的正半轴上，OA=4，OC=2,点P从点O出发。

沿X轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动。设点P运动的时间是t秒，将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90度得到点D。点D随点P的运动而运动，连接DP、DA。
1、请用含t的代数式表示出点D的坐标；
2、求t为何值，三角形DPA的面积最大，最大为多少？
3、在点P从O向A运动的过程中，三角形DPA能否成为直角三角形？若能，求t的值。若不能，请说明理由。
4、请直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长。
求详细过程

Answer 1

（1）∵点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，
∴OP=t，OC=2，
∴P（t，0），
设CP的中点为F，
F（ t/2，1），
∴Dt+1， t/2）；
（2）∵D点坐标为（t+1， t/2），OA=4，
∴S△DPA= 1/2AP×1= 1/2（4-t）× t2= 1/4（4t-t2），
∴当t=2时，S最大=1；
（3）能够成直角三角形．
①当∠PDA=90°时，PC∥AD，
PD2+AD2=AP2，
（ t/2）2+1+（4-t-1）2+（ t/2）2=（4-t）2，
t=2或t=-6（舍去）．
∴t=2秒．
②当∠PAD=90°时，此时点D在AB上，t+1=4，t=3秒．
综上，可知当t为2秒或3秒时，△DPA能成为直角三角形．
4）∵根据点D的运动路线与OB平行且相等，OB=2 √5，
∴点D运动路线的长为2√ 5．

Answer 2

1）∵点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，
∴OP=t，OC=2，
∴P（t，0），
设CP的中点为F，
F（ t/2，1），
∴Dt+1， t/2）；
（2）∵D点坐标为（t+1， t/2），OA=4，
∴S△DPA= 1/2AP×1= 1/2（4-t）× t2= 1/4（4t-t2），
∴当t=2时，S最大=1；
（3）能够成直角三角形．
①当∠PDA=90°时，PC∥AD，
PD^2+AD^2=AP^2，(“^”是指平方)
（ t/2）^2+1+（4-t-1）^2+（ t/2）^2=（4-t）^2，
t=2或t=-6（舍去）．
∴t=2秒．
②当∠PAD=90°时，此时点D在AB上，t+1=4，t=3秒．
综上，可知当t为2秒或3秒时，△DPA能成为直角三角形．
4）∵根据点D的运动路线与OB平行且相等，OB=2 √5，
∴点D运动路线的长为2√ 5．