在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA、OC分别在X轴、Y轴的正半轴上,OA=4,OC=2,点P从点O出发。
沿X轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,当点P到达点A时停止运动。设点P运动的时间是t秒,将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90度得到点D。点D随点P的运动而运动...
沿X轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,当点P到达点A时停止运动。设点P运动的时间是t秒,将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90度得到点D。点D随点P的运动而运动,连接DP、DA。
1、请用含t的代数式表示出点D的坐标;
2、求t为何值,三角形DPA的面积最大,最大为多少?
3、在点P从O向A运动的过程中,三角形DPA能否成为直角三角形?若能,求t的值。若不能,请说明理由。
4、请直接写出随着点P的运动,点D运动路线的长。
求详细过程 展开
1、请用含t的代数式表示出点D的坐标;
2、求t为何值,三角形DPA的面积最大,最大为多少?
3、在点P从O向A运动的过程中,三角形DPA能否成为直角三角形?若能,求t的值。若不能,请说明理由。
4、请直接写出随着点P的运动,点D运动路线的长。
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(1)∵点P从点O出发,沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,
∴OP=t,OC=2,
∴P(t,0),
设CP的中点为F,
F( t/2,1),
∴Dt+1, t/2);
(2)∵D点坐标为(t+1, t/2),OA=4,
∴S△DPA= 1/2AP×1= 1/2(4-t)× t2= 1/4(4t-t2),
∴当t=2时,S最大=1;
(3)能够成直角三角形.
①当∠PDA=90°时,PC∥AD,
PD2+AD2=AP2,
( t/2)2+1+(4-t-1)2+( t/2)2=(4-t)2,
t=2或t=-6(舍去).
∴t=2秒.
②当∠PAD=90°时,此时点D在AB上,t+1=4,t=3秒.
综上,可知当t为2秒或3秒时,△DPA能成为直角三角形.
4)∵根据点D的运动路线与OB平行且相等,OB=2 √5,
∴点D运动路线的长为2√ 5.
∴OP=t,OC=2,
∴P(t,0),
设CP的中点为F,
F( t/2,1),
∴Dt+1, t/2);
(2)∵D点坐标为(t+1, t/2),OA=4,
∴S△DPA= 1/2AP×1= 1/2(4-t)× t2= 1/4(4t-t2),
∴当t=2时,S最大=1;
(3)能够成直角三角形.
①当∠PDA=90°时,PC∥AD,
PD2+AD2=AP2,
( t/2)2+1+(4-t-1)2+( t/2)2=(4-t)2,
t=2或t=-6(舍去).
∴t=2秒.
②当∠PAD=90°时,此时点D在AB上,t+1=4,t=3秒.
综上,可知当t为2秒或3秒时,△DPA能成为直角三角形.
4)∵根据点D的运动路线与OB平行且相等,OB=2 √5,
∴点D运动路线的长为2√ 5.
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1)∵点P从点O出发,沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,
∴OP=t,OC=2,
∴P(t,0),
设CP的中点为F,
F( t/2,1),
∴Dt+1, t/2);
(2)∵D点坐标为(t+1, t/2),OA=4,
∴S△DPA= 1/2AP×1= 1/2(4-t)× t2= 1/4(4t-t2),
∴当t=2时,S最大=1;
(3)能够成直角三角形.
①当∠PDA=90°时,PC∥AD,
PD^2+AD^2=AP^2,(“^”是指平方)
( t/2)^2+1+(4-t-1)^2+( t/2)^2=(4-t)^2,
t=2或t=-6(舍去).
∴t=2秒.
②当∠PAD=90°时,此时点D在AB上,t+1=4,t=3秒.
综上,可知当t为2秒或3秒时,△DPA能成为直角三角形.
4)∵根据点D的运动路线与OB平行且相等,OB=2 √5,
∴点D运动路线的长为2√ 5.
∴OP=t,OC=2,
∴P(t,0),
设CP的中点为F,
F( t/2,1),
∴Dt+1, t/2);
(2)∵D点坐标为(t+1, t/2),OA=4,
∴S△DPA= 1/2AP×1= 1/2(4-t)× t2= 1/4(4t-t2),
∴当t=2时,S最大=1;
(3)能够成直角三角形.
①当∠PDA=90°时,PC∥AD,
PD^2+AD^2=AP^2,(“^”是指平方)
( t/2)^2+1+(4-t-1)^2+( t/2)^2=(4-t)^2,
t=2或t=-6(舍去).
∴t=2秒.
②当∠PAD=90°时,此时点D在AB上,t+1=4,t=3秒.
综上,可知当t为2秒或3秒时,△DPA能成为直角三角形.
4)∵根据点D的运动路线与OB平行且相等,OB=2 √5,
∴点D运动路线的长为2√ 5.
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