Question

已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x1/x2)=f(x1)-f(x2)，且当x>1时，f(x)>0，f(3)=1.

(1)判断f(x)的单调性；
(2)解关于x的不等式f(3x+6)+f(1/x)>2;
(3)若f(x)≤m^2-2am+1对所有x∈(0,3],a∈[-1,1]恒成立，求实数m的取值范围.

Answer 1

1. f(x₁/x₂)=f(x₁)-f(x₂)

   f(⅓x)=f(x)-1→f(x)-f(⅓x)=1>0

   ∵x₁∈(0,+∞)→x₁>⅓x₁→f(x)是增函数

2. f(3x+6)+f(1/x)>2=f(3)+f(3)=f(9)

   f(3x+6)>f(9)-f(1/x)=f[9/(1/x)]=f(9x)

   由1知f(x)是增函数→3x+6>9x→x<1→不等式的解x∈(0,1)

3. x∈(0,3]时，f(x)≤1→m²-2am+1≥1→m²-2am≥0

   m(m-2a)≥0

   m>0时 m-2a≥0恒成立→m≥2

   m=0时 恒成立

   m<0时 m-2a≤0恒成立→m≤-2

   实数m的取值范围:|m|≥2∪m=0