Question

高中数学圆锥曲线题目

椭圆C的中心在坐标原点O,短轴长为2,长轴长为2a(a>0),左焦点为F（-c,0）(c>0)，直线ll:x=-a^2/c与x轴交于点P，且向量FO的模=3倍的向量PF的模。
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线（2m+1）x+（3-m）y-2n-1=0（m≠3）与椭圆C交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为A'.试问当m变化时，直线A'B是否过x轴上的定点？若是，写出定点坐标，并证明你的结论;若不是，请说明理由.
修改（2m+1）x+（3-m）y-2m-1=0（m≠3）

Answer 1

（1）根据题意得c=3（a^2/c-c），得出x^2/4-y^2=1.
(2)由题意得直线（2m+1）x+（3-m）y-2n-1=0（m≠3）过定点（1,0），所以直线可表示为y=k（x-1），设A(x1，y1)，B（x2，y2），A'（x1，-y1）。将y=k（x-1）带入x^2/4-y^2=1，得（1+4k^2）x^2-8k^2x+4k^2-4=0,所以x1+x2=8k^2/（1+4k^2），x1x2=4k^2-4/（1+4k^2）。A'B直线的方程表示为y=(y2+y1)(x-x2)/(x2-x1)+y2,将y=0代入，化简x=[2x1x2-(x1+x2)]/(x1+x2-2),最后将x1+x2=8k^2/（1+4k^2），x1x2=4k^2-4/（1+4k^2）代入化简，得x=4，所以过定点（4,0）。眼睛看花了。。。