Question

n为正整数 n趋近于无穷大时n开n次方 的极限为什么是1 请证明

我是大一的 我只想证明它的极限是一 没这么复杂吧

Answer 1

你好！

对于任何q>1，n->＋∞时，n/(q^n)=0；
这个的意思是n->＋∞时，指数函数比一次函数增长得要快，这是经常要用到的一个性质。打字很麻烦，关于这个的证明能不能麻烦你自己找一下，应该很容易找到。

然后就简单了。
对于任何ε>0，1+ε>1，因而n->＋∞时，n/(（1+ε）^n)=0；这说明n足够大的时候，n<（1+ε）^n，也就是说n开n次方<1+ε。由于ε是任意选取的，就说明n->＋∞时，n开n次方不大于1。显然它也不小于1。这样就证明了n开n次方的极限是1.

解释n开n次方不大于1:
是这样的。
假设n开n次方大于1，设n开n次方-1=a>0,那么我们就可以取ε=a/2，由我已经证明的部分有n开n次方<1+ε=1+a/2<1+a。这就造成了矛盾。
所以n开n次方不能大于1.

Answer 2

n开n次方=n^(1/n)=exp{lnn/n}
那么在n趋于无穷大时,lnn/n是无穷/无穷的形式.
所以用L'hospital法则,就有
n趋于无穷大时,lim lnn/n=lim (1/n)/1=0
那么n^(1/n)的极限就是e^0=1了