Question

不等式题目

Answer 1

（1）
引入函数f（x）＝（1/x）lnx，则：
f′（x）＝［（1/x）x－lnx］/x^2＝（1－lnx）/x^2。
显然，当x＞e时，f（x）＜0，∴f（x）在x＞e时是减函数，∴f（a）＞f（b），
∴（1/a）lna＞（1/b）lnb，
∴blna＞alnb，∴ln（a^b）＞ln（b^a）。
自然，y＝lnx是增函数，∴a^b＞b^a。
（2）
引入函数f（x）＝tanx＋2sinx－3x，则：
f′（x）＝1/（cosx）^2＋2cosx－3，
f″（x）＝2sinx/（cosx）^3－2sinx＝2sinx［1－（cosx）^3］/（cosx）^3。
∵0＜x＜π/2，∴cosx＞0、1＞（cosx）^3，∴f″（x）＞0，
∴当0＜x＜π/2时，f′（x）是增函数，又f′（0）＝1/（cos0）^2＋2cos0－3＝0，
∴当0＜x＜π/2时，f′（x）＞0，
∴当0＜x＜π/2时，f（x）是增函数，又f（0）＝tan0＋2sin0－3×0＝0，
∴当0＜x＜π/2时，f（x）＞0，即：tanx＋2sinx－3x＞0，
于是：当0＜x＜π/2时，tanx＋2sinx＞3x。

Answer 2

用对数做