Question

已知圆M过两点A（1,-1),B(-1,1)，且圆心M在X+Y-2=0上。 ⑴、求圆M的方程。 ⑵、设P是直线...

已知圆M过两点A（1,-1),B(-1,1)，且圆心M在X+Y-2=0上。 ⑴、求圆M的方程。 ⑵、设P是直线3X+4Y+8=0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A、B为切点，求四边形PAMB面积的最小值。

Answer 1

圆心M在AB的垂直平分线上，
∵A(1，-1)，B(-1，1)，
∴AB的垂直平分线为y=x
圆心M在x+y-2=0上
x+y-2=0与y=x 联立得M(1,1)
r=|MA|=2
圆M的方程 为(x-1)^2+(y-1)^2=4
(2)过M向直线3x+4y+8=0引垂线，
垂足为P，此时PA、PB是圆M的两
条切线长相等且最短，四边形PAMB
面积取最小值。
M到直线3x+4y+8=0的距离
|PM|=d=|3+4+8|/√(3^2+4^2)=3
|PA|=|PB|=√(3^2-2^2)=√5
此时四边形PAMB面积
=2×1/2×|AM|×|PA|=2√5
所以四边形PAMB面积的最小值为2√5。

Answer 2

AB斜率k=(1+1)/(-1-1)=-1
AB中点(0,0)
AB中垂线为y=x (1)
而圆心在已知直线上
即x+2y-2=0 (2)
故由(1)、(2)得
x=1
y=1
故圆心为(1,1)
圆半径r^2=(1-1)^2+(1+1)^2=2^2
即圆为(x-1)^2+(y-1)^2=4

Answer 3

圆M方程为（x-1）^2+(y-1)^2=4方法：简便算法可以先画图去点A,B,可知，圆心一定在y=x上，联立x+y-2=0,求出圆心（1,1）p在点（-3/2,-7/8）处取值，得最小面积