Question

已知数列an是公差不为零的等差数列，a2=3，且a5是a4，a8的等比中项。求数列an的通项公式

（2）设Sn为数列an的前n项和，求使an=Sn成立的所有n的值

Answer 1

设公差为d
则a5^2=a4*a8
(a2+3d)^2=(a2+2d)*(a2+6d)
a2^2+6d*a2+9d^2=a2^2+8d*a2+12d^2
3d^2+2d*a2=0
已知d不为0
故d=-2a2/3=-2
an=7-2n
(a4=-1, a5=-3, a8=-9)

Answer 2

a5是a4，a8的等比中项推出(a5)^2=a4*a8
又因为等差数列中公差d=(a4-a2)/2=(a8-a2)/6=(a5-a2)/3
所以，代入得到
(3+3d)^2=(3+2d)(3+6d)
d≠0,d=-2
an=a2+(n-2)d=7-2n
Sn=(a1+an)n/2=6n-n^2=7-2n
n=1或7

Answer 3

a1+d=3
a5^2=a4*a8
(a1+4d)^2=(a1+3d)*(a1+7d)
a=5 d=-2
an=7-2n
Sn-an=0
S(n-1)=0
Sn=6n-n^2
S(n-1)=6(n-1)-(n-1)^2=0
n=1 || n=7