Question

高二立体几何

如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD。底面ABCD为菱形,AB=2,∠BAD=60°
1若PA=AB,求PB与AC所成角的余弦值 2 当平面PBC⊥面PDC时，求PA长

Answer 1

1. 作BM//AC, 作AN//BD. BM,AN相交于E.连接PE,知角EBP= PB与 AC的夹角.
在三角形EBP中,PB = 根号2, EB = (根号3)/2, PE = 根号(5/4) (勾股定理)
由余弦定理得:cos角EBP = [2+3/4 -5/4]/[2*(根号2)*(根号3)/2]= (根号6)/4
2.知平面PAC垂直于平面ABCD (过平面的垂线的平面,垂直于这平面)
又知BD垂直于AC (菱形性质).
故BD垂直于平面PAC (两平面垂直,则一平面内垂直于其交线的直线,必垂直于另一平面 &&&)
从而:BD垂直于PC. ( 垂直于平面,就垂直于平面上的任何直线***) (1)
在平面PBC上作BF垂直于PC于F, (2)
连接DF.
知BF垂直于平面PDC ( &&&)
从而BF垂直于DF.(***)
即三角形BFD为直角三角形.
记AC BD的交点为G,连接FG.
由(1) (2)知PC垂直于平面BDF (垂直于平面上的两相交直线,就垂直于这平面)
从而PC垂直于GF ,PC垂直于DF ( ***). (3)
即知角:BFD 即为平面PBC与PDC所成二面角的平面角.
即角BFD= 90度. 三角形BDF为等腰直角三角形.
BD = AB =2, 求得FG =1.
又三角形GCF中:GC = (根号3), FG = 1, 角GFC= 90度 ( 由(3))
求得:FC = 根号2.
三角形GFC相似 三角形PAC.
有:FC/AC = GF/PA, 即:(根号2)/[2根号3] = 1/PA,
PA =根号6.

Answer 2

首先建直角坐标系