Question

已知定义在R上的函数f(x)满足①:f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy;②:f(0)=0,f(#/2)=1,求 (1)判断f(x)的奇偶性;...

已知定义在R上的函数f(x)满足①:f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy;②:f(0)=0,f(#/2)=1,求
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)求f(x)
(3)求f(x)+cosx+f(x)·cosx的最大值。

Answer 1

解：由①得f(x)+f(y)=2f[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]
1、令y=-x得f(x)为奇函数。
2、对x求偏导，并令y=-x，得f'(x)=f'(0)cosx，于是f(x)=f'(0)sinx+C。而f(0)=0,f(π/2)=1得C=0,f'(0)=1.故f(x)=sinx
3、√2+1/2，x=π/4

Answer 2

已知定义在R上的函数f(x)满足①:f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy;②:f(0)=0,f(#/2)=1,求
(1)判断f(x)的奇偶性;

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Answer 3

　　1、令y=-x得f(x)为奇函数。
　　2、令y=π/2,所以，f(x+π/2)=f(π/2-x)。f(x)关于x=π/2对称。令x=π/2,f(π/2+y)+f(π/2-y)=2cosy.因为对称，f(π/2+y)=cosy.即f(y)=cos(y-π/2)=siny.即f(x)=sinx.