Question

在正三棱锥P-ABC(顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，AB=4，PA=8，

过A作与PB，PC分别交于D和E的截面，则截面△ADE的周长的最小值为？这题沿PA着将正三棱锥P-ABC侧面展开，令与A点从何的点为点A1，为什么就A,D,E,A1共线了，请求完整过程

Answer 1

将P-ABC侧面展开，因为A点展开后为A和A‘两点，所以PAB，PBC，PCA‘在一个平面上。
所以ADE周长为AD+DE+EA’应该最小
则ADEA‘共线时最小
PAB为一个三边为8,8,4的三角形
则角BPA的余弦cosP=7/8, sinP=15^0.5/8，则sin2P=7*15^0.5/32，cos2P=34/64
cos3P=cos2PcosP-sin2PsinP=7*34/512-105/256=28/512=7/128
所以三角形ADE周长最小为(64+64-128*7/128)^0.5=11