Question

高中数学：已知函数f（x）=3x^2-2mx-1,g(x)=|x|-7/4

已知函数f（x）=3x^2-2mx-1,g(x)=|x|-7/4
（1）求证：一定存在x0∈（-1,2），使f（x0）≥0；
（2）若对任意的x∈（-1,2），f（x）≥g（x），求m的取值范围；
（3）h（x）为奇函数，当x≥0时，h（x）=f（x）+2mx+1，若3h（x）≤2h（x+sinα）对α∈R恒成立，求x的取值范围。

Answer 1

（1）本题对m进行分类
1.m = 0 ，f（x）= 3x² - 1,取x0 = 1，f（x0）= 2 > 0
2.m > 0.5 或 -0.25 < m < 0，取x0 = -1/（2m），f（x0）= 3x0² > 0
3.0 < m ≤ 0.5，则 -2m ≥ -1，f（x）≥ 3x² - x -1，取x0 = 1，f（x0）= 1 > 0
4.m ≤ -0.25，则 -2m ≥ 0.5，f（x）≥ 3x² +0.5x -1，取x0 = 1，f（x0）= 2.5 > 0
综上所述，无论m取何值时，都存在x0∈（-1,2），使f（x0）≥0
（2）构造h（x）= f（x）-g（x），要使f（x）≥g（x），即h（x）≥ 0
h（x）= 3x^2 - 2mx - 1 - |x| + 7/4 = 3x^2 - 2mx + 3/4 - |x|，
当-1 < x < 0，h（x）= 3x^2 - （2m - 1）x + 3/4
由图象可知，h（x）≥ 0（-1 < x < 0）必须满足如下条件
（2m - 1）/ 6 ≤ -1,h（-1）≥0
或者 （2m - 1）/ 6 > 0，h（0）≥ 0
或者 -1 < （2m - 1）/ 6 < 0，h（（2m - 1）/ 6）≥ 0
h（x）≥ 0（0 ≤ x < 2）必须满足如下条件
（2m - 1）/ 6 ≤ 0,h（0）≥0 或者 （2m - 1）/ 6 > 2，h（2）≥ 0 或者 0 < （2m - 1）/ 6 < 2，h（（2m - 1）/ 6）≥ 0
解得-1 ≤ m < 2（不知道有没有算错）
第（3）题可以这样
取α = 0，则3h（x）≤ 2h（x + 0）也要成立，故在x > 0上不成立
在x ≤ 0上的解析式为h（x）= -3x²，要使3h（x）≤2h（x+sinα）对α∈R恒成立，即
3h（x）≤ 2h（x - 1）成立（因为h（x）在x ≤ 0上单调递增）
解得x的取值范围为x ≤ -2 - √6

追问

我解出来第二问是-1≤m≤1

追答

我看是我算错了，上面的式子也不知道有没有错，在电脑里面写这个太麻烦了，我明天再算算看，如果你不急的话。

追问

可以的。谢谢。

追答

你好，关于第2题的问题我已解决，之前由于在0 ≤ x 0，h（0）≥ 0（方程组的解为m ≥ 0.5）
或者 -1 2，h（2）≥ 0（方程组无解）
或者 0 < （2m - 1）/ 6 < 2，h（（2m - 1）/ 6）≥ 0（方程组的解为-2 ≤ m ≤1）
综上所述，为m ≤ 1 ②
综合①②得，-1 ≤ m < 1
不知道楼主是用什么方法算出来的，若方法不同，请大致提示一下，谢谢。

追问

我也是通过讨论对称轴的。

Answer 2

x0∈（-1,2），使f（x0）≥0；
什么意思-.-