Question

求证；区域必是道路连通的。 （定义“区域”：连通的开集）

Answer 1

反证法：若区域D中有两个点a b没有道路连通，定义A＝｛x：x与a有道路连通｝B＝｛x:与a没有道路连通｝，则A B非空，互不相交，且A并B为D，只要证明A B皆为开集，则得到矛盾（连通开集不能分解为两个互不相交的非空开集之并）。

证明A连通：任取x位于A，由于D开集，存在球B(x r)位于D中，显然B(x r)中每一点与x有道路连通，因此与a有道路连通，故A是开集。证明B连通类似：任取y位于B，存在球B(y r)位于D中，则B(y r)中任一点与y有道路连通，于是不能与a有道路连通，否则y就与a道路连通，与B的构造矛盾，因此B开集。

开域指满足下列两个条件的点集：

（1）全由内点组成。

（2）具有连通性。

闭域:开域连同其边界。

区域:开域,闭域或开域连同其一部分界点所成的点集。

Answer 2

反证法：若区域D中有两个点a b没有道路连通，定义A＝｛x：x与a有道路连通｝B＝｛x:与a没有道路连通｝，则A B非空，互不相交，且A并B为D，只要证明A B皆为开集，则得到矛盾（连通开集不能分解为两个互不相交的非空开集之并）。证明A连通：任取x位于A，由于D开集，存在球B(x r)位于D中，显然B(x r)中每一点与x有道路连通，因此与a有道路连通，故A是开集。证明B连通类似：任取y位于B，存在球B(y r)位于D中，则B(y r)中任一点与y有道路连通，于是不能与a有道路连通，否则y就与a道路连通，与B的构造矛盾，因此B开集。