Question

一道数学题~~帮帮忙！！2012年一模数学虹口区填空题最后一期~~

已知△ABC中，AB=AC=m，∠ABC=72°，BB1平分∠ABC交AC于B1，过B1作B1B2∥BC交AB于B2，作B2B3平分∠AB2B1，交AC于B3，过B3作B3B4∥BC，交AB于B4，则B3B4线段的长度用含有m的代数式可以表示为________

Answer 1

我卷做虹口就这道题做不出来

余弦定理书上没有。。。有图为证。 

我今天还想出来了一个方法。

书上有“黄金三角形”的概念（书P56）。

书上概念还打错了 应该是“底边与腰的比”比为黄金数

下面开始解题：

∵黄金△ABC

     BC       √5-1                √5-1

∴--------=---------    BC=--------------m=BB1=AB1

     AB          2                      2

∵BC∥B1B2

     B1B2         AB1

∴-----------=-----------

       BC           AC

      √5-1

    -------m

        2               B1B2

----------------=-----------

         m             (√5-1)m/2

∴B1B2= ( (√5-1)/2 ) 的平方 X  m=B2B3=AB3

∵B3B4∥B1B2

     B3B4        AB3

∴-----------=-----------

     B1B2        AB1

从而解得B3B4= ( (√5-1)/2 ) 的立方 X  m

Answer 2

解：如图http://hi.baidu.com/zhangwangli135/albumcreate/multipicture/album/111
设B1B2的长为X
因为三角形AB2B1全等于三角形BCB1
所以CB1=X ，AB1=m-X
因为三角形ABB1是等腰三角形，所以BB1=AB1=m-X
因为三角形CBB1是等腰三角形，所以BB1=BC=m-X
因为三角形AB2B1相似于三角形ABC
所以AB：BC=AB2：B2B1
即 m：（m-X）=（m-X）：X
解得X=（3-根号5）/2 * m
同理可解得
B3B4=（3-根号5）/2 * X
=（3-根号5）/2 * （3-根号5）/2 * m
=（7-根号5）/2 m

Answer 3

其实还是可以做的
设B1B2=X,AB2=Y
因为三角形有正弦定理a/sinA=b/sinB
求BC m/sin54°=BC/sin72°，求得BC关于m的代数
B1B2平行于BC,相似三角形得比例
X/BC=Y/m 1
又因为BB1是∠ABC的角平分线∠B2B1B=∠B2BB1
于是B1B2=BB2 =X
m=AB2+BB2=X+Y 2
将1,2两个式子联立方程，代入BC
就可以求到X B1B2
那么B3B4也就同理可求了
系数中带着sin罢了

Answer 4

解：∵AB=AC=m，∠ABC=72°，BB1平分∠ABC交AC于B1，
∴△BCB1和△B2B1B是等腰三角形，
∵过B1作B1B2∥BC交AB于B2，
∴ AB2/AB= B2B1/BC，
∵BC=AB2+AC2-2AB•ACcos36°，
∴BC= √(3-√5)/2*m，
设B2B1是x，则B2B是x．
∴( m-x)/m= x/√(3-√5)/2*m，
∴x= √(3-√5)/2*m٨2/(m+√(3-√5)/2*m)
即：x= (√(3-√5)/2*m)/(1+(√(3-√5)/2))．
同理可求出B9B10= ((√5-1)/2)٨6*m．
故答案为： ((√5-1)/2)٨6*m．

Answer 5

m/(2+1/(2cos72`)+2cos72`)

Answer 6

((-1+√5)/2)的三次方再乘以m ，由底角为72°可以知道顶角为36°，三角形BCB1相似于三角形ACB，从而可以得到BC^2=AC*CB1，设BC=x，则AB1=BB1=BC=x，CB1=x^2/m,所以由此得到CB1+AB1=AC，即x^2/m+x=m，解二次方程得到x=((-1+√5)/2)*m，即侧边比上底边的值为(-1+√5)/2，后面以此类推 。。。其实该比例系数为黄金分割系数，这个三角形就存在在平常画出的五角星里，加油！