Question

已知函数f(x)=mx²-|x|+2m-1(m为常数)。设h(x)=f(x)/x,若函数h(x)在区间[1,2]上是增函数，求实数m的取

Answer 1

x>0,
h(x)=f(x)/x=mx-1+(2m-1)/x
h'(x)=m-(2m-1)/x^2
函数h(x)在区间[1,2]上是增函数
即x∈[1,2],h'(x)=m-(2m-1)/x^2≥0恒成立
即 mx^2≥2m-1
当m=0时，0≥-1，成立
当 m>0时, mx^2∈[m,4m]，需m≥2m-1 =>m≤1
当m<0时，mx^2∈[4m,m]，需4m≥2m-1 =>m≥-1/2
综上所述，符合条件的m的取值范围是-1/2≤m≤1

Answer 2

在区间[1,2],h(x)=mx+(2m-1)/x-1
若m>=1/2, 则有：mx+(2m-1)/x>=2√[m(2m-1)], 在x=√(2-1/m)取得最小值， 最小值点应位于区间外，否则不单调，而显然此最小值点不大于√2，故√(2-1/m)<=1, 得：m<=1, 即1/2=<m<=1
若0=<m<1/2，则mx, 及(2m-1)/x在[1,2]上都是增函数，符合
若m<0, mx+(2m-1)/x<=-2√[m(2m-1)], 在x=√(2-1/m)取得最大值，而此最值点大于√2，需位于区间外，故√（2-1/m)>=2, 得 -1/2=<m<0
因此综合得：-1/2=<m<=1