中考关于圆的知识点汇总
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24.1 圆
24.1.1 圆
•连接圆上任意两点的线段叫做弦。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。
24.1.2 垂直于弦的直径
•垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦的直径垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
24.1.3 弧、弦、圆心角
1、顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
推论1：相等的弧所对的弦相等，所对的圆心角也相等。
推论2：相等的弦所对的弧相等，所对的圆心角也相等。
24.1.4 圆周角
1、顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，且都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧也一定相等。
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
3、如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形就叫做圆内接多边形，这个圆就叫做多边形的外接圆。
4、圆内接四边形的对角互补。
24.2 点、直线、圆和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
1、若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有：
点P在圆外 <=> d>r；点P在圆上 <=> d=r；点P在圆内 <=> d<r。
（“<=>”读作“等价于”，表示可以从符号“<=>”的一端得到另一端）
2、经过已知的两个点的圆的圆心在这两个点的连线段的垂直平分线上。
3、不在同一直线上的三个点确定一个圆，确定方法：作三点的连线段的其中两条的垂直平分线，交点即为圆心，以圆心到其中一点的距离作为半径画圆即可。
4、若三角形的三个顶点在同一个圆上，那么这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
5、假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，则假设不正确，故原命题成立，这种证明方法叫做反证法。
24.2.2 直线和圆的位置关系
1、当直线与圆有两个公共点时，叫做这条直线与圆相交，这条直线叫做圆的割线。
当有一个公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。
当没有公共点时，叫做直线与圆相离。
2、若⊙O的半径为r，直线l到圆心的距离为d，则有：
直线l与圆相交 <=> d<r；直线l与圆相切 <=> d=r；直线l与圆相离 <=> d>r。
3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线就是圆的切线。
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
4、经过圆外一点作圆的切线，这个点到切点的长度叫做这点到圆的切线长。
5、切线长定理：从圆外一点可以引出两条切线，它们的切线长相等，这个点与圆心的连线平分两条切线的夹角。
6、与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条边的角平分线的交点，叫做三角形的内心。确定内切圆方法：作出角平分线，以交点为圆心，以它到任意一边的距离为半径作圆即可。
24.2.3 圆和圆的位置关系
（1-3条内容见最下面的图片）
1、如果两个圆没有公共点，就叫做这两个圆相离（如(1)(5)(6)）。
其中(1)叫做外离，(5)(6)叫做内含，(6)中两圆同心是内含的一种特殊情形。
2、如果两个圆只有一个公共点，就叫做这两个圆相切（如(2)(4)）。
其中(2)叫做外切，(4)叫做内切。
3、如果两个圆有两个公共点，就叫做这两个圆相交（如(3)）。
4、若两个圆的半径分别为r1、r2（r1>r2），圆心距（两圆圆心的距离）为d，则
外离 d>r1+r2 内含 d<r1-r2
外切 d=r1+r2 内切 d=r1-r2
相交 r1-r2<d<r1+r2
24.3 正多边形和圆
1、将一个圆分成n段相等的弧，再将弧的端点顺次连接，即可得到圆内接正n边形，这个圆就叫做正n边形的外接圆。
2、正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，其外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做中心角，中心到正多边形任意一边的距离叫做边心距。
3、画边长为R的正六边形的方法：
①以R为半径作圆，用量角器画出一个(360°÷6=)60°的圆心角，它对着一段弧，在圆上依次截取与它相等的弧，得到圆的6等分点，顺次连接即可。
②以R为半径作圆，找圆上一点依次截取等于R的弦，便能六等分圆，连接分点即可。
4、尺规画正方形的方法：在圆内画两条互相垂直的直径，便能四等分圆，连接分点即可。
正多边形补充知识：
1、正多边形都有内切圆和外接圆，这两个圆是同心圆（即垂直平分线、角平分线的交点）。
2、设正n边形的半径为R，边心距为r，边长为a，周长为C，面积为S，有：
（1）a=2R•sin (180°/n)
（2）r=R•cos (180°/n)
（3）S=1/2r•a•n=1/2C•r
3、每一个正多边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它还是中心对称图形。
24.4 弧长和扇形面积
1、n°的圆心角所对的弧长公式：l=nπR/180（推导过程：360°所对的弧长为2πR）
2、由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。
3、圆心角为n°的扇形面积公式：S=nπR²/360（推导过程：360°所对的扇形面积为πR2）
4、比较弧长公式和扇形面积公式，可以得到另一个扇形面积公式：S=1/2×lR（l为弧长）
5、连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。
6、圆锥的侧面积公式：S侧=1/2×Cl=πrl，圆锥全面积公式：S=πr²+πrl=πr(r+l)
数学活动——四点共圆的条件：
1、把四个点连成四边形，对角互补。
2、把四个点连成共底边的两个三角形，两个顶角为直角，斜边即为直径。
3、四个点到某一定点的距离相等，定点即为圆心。
4、作任意三个点的连线段的垂直平分线，有交点，该点即为圆心。
修改：文本中等价符号显示不出的问题<=>
24.1.1 圆
•连接圆上任意两点的线段叫做弦。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。
24.1.2 垂直于弦的直径
•垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦的直径垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
24.1.3 弧、弦、圆心角
1、顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
推论1：相等的弧所对的弦相等，所对的圆心角也相等。
推论2：相等的弦所对的弧相等，所对的圆心角也相等。
24.1.4 圆周角
1、顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，且都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧也一定相等。
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
3、如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形就叫做圆内接多边形，这个圆就叫做多边形的外接圆。
4、圆内接四边形的对角互补。
24.2 点、直线、圆和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
1、若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有：
点P在圆外 <=> d>r；点P在圆上 <=> d=r；点P在圆内 <=> d<r。
（“<=>”读作“等价于”，表示可以从符号“<=>”的一端得到另一端）
2、经过已知的两个点的圆的圆心在这两个点的连线段的垂直平分线上。
3、不在同一直线上的三个点确定一个圆，确定方法：作三点的连线段的其中两条的垂直平分线，交点即为圆心，以圆心到其中一点的距离作为半径画圆即可。
4、若三角形的三个顶点在同一个圆上，那么这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
5、假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，则假设不正确，故原命题成立，这种证明方法叫做反证法。
24.2.2 直线和圆的位置关系
1、当直线与圆有两个公共点时，叫做这条直线与圆相交，这条直线叫做圆的割线。
当有一个公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。
当没有公共点时，叫做直线与圆相离。
2、若⊙O的半径为r，直线l到圆心的距离为d，则有：
直线l与圆相交 <=> d<r；直线l与圆相切 <=> d=r；直线l与圆相离 <=> d>r。
3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线就是圆的切线。
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
4、经过圆外一点作圆的切线，这个点到切点的长度叫做这点到圆的切线长。
5、切线长定理：从圆外一点可以引出两条切线，它们的切线长相等，这个点与圆心的连线平分两条切线的夹角。
6、与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条边的角平分线的交点，叫做三角形的内心。确定内切圆方法：作出角平分线，以交点为圆心，以它到任意一边的距离为半径作圆即可。
24.2.3 圆和圆的位置关系
（1-3条内容见最下面的图片）
1、如果两个圆没有公共点，就叫做这两个圆相离（如(1)(5)(6)）。
其中(1)叫做外离，(5)(6)叫做内含，(6)中两圆同心是内含的一种特殊情形。
2、如果两个圆只有一个公共点，就叫做这两个圆相切（如(2)(4)）。
其中(2)叫做外切，(4)叫做内切。
3、如果两个圆有两个公共点，就叫做这两个圆相交（如(3)）。
4、若两个圆的半径分别为r1、r2（r1>r2），圆心距（两圆圆心的距离）为d，则
外离 d>r1+r2 内含 d<r1-r2
外切 d=r1+r2 内切 d=r1-r2
相交 r1-r2<d<r1+r2
24.3 正多边形和圆
1、将一个圆分成n段相等的弧，再将弧的端点顺次连接，即可得到圆内接正n边形，这个圆就叫做正n边形的外接圆。
2、正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，其外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做中心角，中心到正多边形任意一边的距离叫做边心距。
3、画边长为R的正六边形的方法：
①以R为半径作圆，用量角器画出一个(360°÷6=)60°的圆心角，它对着一段弧，在圆上依次截取与它相等的弧，得到圆的6等分点，顺次连接即可。
②以R为半径作圆，找圆上一点依次截取等于R的弦，便能六等分圆，连接分点即可。
4、尺规画正方形的方法：在圆内画两条互相垂直的直径，便能四等分圆，连接分点即可。
正多边形补充知识：
1、正多边形都有内切圆和外接圆，这两个圆是同心圆（即垂直平分线、角平分线的交点）。
2、设正n边形的半径为R，边心距为r，边长为a，周长为C，面积为S，有：
（1）a=2R•sin (180°/n)
（2）r=R•cos (180°/n)
（3）S=1/2r•a•n=1/2C•r
3、每一个正多边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它还是中心对称图形。
24.4 弧长和扇形面积
1、n°的圆心角所对的弧长公式：l=nπR/180（推导过程：360°所对的弧长为2πR）
2、由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。
3、圆心角为n°的扇形面积公式：S=nπR²/360（推导过程：360°所对的扇形面积为πR2）
4、比较弧长公式和扇形面积公式，可以得到另一个扇形面积公式：S=1/2×lR（l为弧长）
5、连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。
6、圆锥的侧面积公式：S侧=1/2×Cl=πrl，圆锥全面积公式：S=πr²+πrl=πr(r+l)
数学活动——四点共圆的条件：
1、把四个点连成四边形，对角互补。
2、把四个点连成共底边的两个三角形，两个顶角为直角，斜边即为直径。
3、四个点到某一定点的距离相等，定点即为圆心。
4、作任意三个点的连线段的垂直平分线，有交点，该点即为圆心。
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