Question

在高等数学数列极限定义中，ε 为什么不要直接等于零

|Xn-a|，，a是极限，那么数列与a
的距离就无限趋近于零啊，为什么搞出那么多定义，什么ε〉0，什么n>N，

Answer 1

在数列极限的魏尔斯特拉斯定义(即ε-N定义)里面，ε具有两重性：即任意性和给定性。任意性是指ε可以是任意小的正数，ε越小说明数列的一般项越接近于极限值；给定性是指只要给定ε的一个值，在数列中就可以找到一项N，使数列第N项后面的所有项与极限值距离都严格小于这个给定的ε，N的值与ε的取值有关，但N不是ε的函数。ε-N定义体现了通过有限认识无限的科学思维方法。

Answer 2

极限的几何概念是无限趋近，n趋向∞，极限值可以无限趋近于a但是可以永远不等于a，这种情况下ε就不能简单要求他等于0，而必须要求他可以无限小。