Question

已知函数f(x)=(ax-b)/(x^2+1)在点(-1,f(-1))的切线方程为x+y+3=0 求解析式

已知函数f(x)=(ax-b)/(x^2+1)在点(-1,f(-1))的切线方程为x+y+3=0 求解析式 上面那个弄错了

Answer 1

先对函数求导：f‘（x）=[a（x²+1）-2x（ax-b）]/(x²+1)²，函数的导数是函数的变化率，即斜率，所以由切线方程x+y+3=0得出斜率为-1，即
f‘（-1）=[a（1²+1）+2（-a-b）]/(1²+1)²=-1，解得：b=2，将
点（-1，f（-1））代入切线方程和原函数得：y=-2，f（-1）=-（a+b）/2，由：b=2算得：a=0；原函数为：f（x）=-2/（x²+1）.

Answer 2

将M代入切线方程求切点
-1+2f(-1)-5=0=>f(-1)=3
则M(-1,3)代入f(x)
f(1)=(-a-b)/(1+b)=3

f'(x)=[a(x^2+b)-2x(ax-b)]/(x^2+b)^2=(-ax^2+2bx+ab)/(x^2+b)^2
f'(-1)=(-a-2b+ab)/(1+b)^2=-1/2

a=-7
b=1