Question

求出矩阵特征值之后，判断矩阵能否相似对角化，该怎么根据特征值判断?

Answer 1

1、判断方阵是否可相似对角化的条件：
(1)充要条件：An可相似对角化的充要条件是：An有n个线性无关的特征向量;
(2)充要条件的另一种形式：An可相似对角化的充要条件是：An的k重特征值满足n-r（λE-A）=k
(3)充分条件：如果An的n个特征值两两不同，那么An一定可以相似对角化;
(4)充分条件：如果An是实对称矩阵，那么An一定可以相似对角化。
【注】分析方阵是否可以相似对角化，关键是看线性无关的特征向量的个数，而求特征向量之前，必须先求出特征值。
2、求方阵的特征值：
(1)具体矩阵的特征值：
这里的难点在于特征行列式的计算：方法是先利用行列式的性质在行列式中制造出两个0，然后利用行列式的展开定理计算;
(2)抽象矩阵的特征值：
抽象矩阵的特征值，往往要根据题中条件构造特征值的定义式来求，灵活性较大。

Answer 2

主要看能否求出，n组线性不相关的特征向量。能求出的，便可对角化。不能求出的不能对角化。但可化为约当（Jordan）矩阵。比如2018年数一第5题。