Question

高数 多元函数极限

一般这样的要怎么做才是任意一种方式趋近

Answer 1

其实是可以的。极限问题，可以在定义域的边界来求。x=0，不在定义域，不妨碍x趋近于0，同样y的定义域不包括0，不影响y趋近于0。不论，边界在不在定义域内，不影响趋近于边界时的极限。
反过来，如果在边界的极限，在定义域内，却影响极限，说明这个极限不等于定义的值，出现跳跃式不连续。不连续，不可能求极限的。
sin（xy）/xy.y--->1.y--->0,同样是正确的。

Answer 2

分享一种解法。设y=kx，k∈R。∴原式=lim(x→0)[3k³+2k)x/(1-k+k²)。
显然，k∈R，即(x,y)任意方式“→(0,0)”时，有原式=lim(x→0)[3k³+2k)x/(1-k+k²)=0。
供参考。

追问

这仅仅是以y＝kx的方式趋近（0，0），若以y＝sinx的方式呢？以及其它y＝g（x）的方式呢？

追答

根据题设条件和极限定义，当(x,y)→(0,0)时，在其邻域δ内，用y=sinx【sinx亦可等价于x，可视同k=1的特例】、或者满足定义条件的g(x)替换都是可以的。