Question

如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为棱AB的中点，求直线A1P与平面D1ABC1⊥所成角的正切值

求详细过程

Answer 1

连结A1D、AD1，交于E，连结PE，
∵四边形ADD1A1是正方形，
∴A1E⊥AD1，
∵AB⊥平面ADD1A1，
A1E∈平面ADD1A1，
∴AB⊥A1E，
∵AD1∩AB=A，
∴A1E⊥平面ABC1D1，
∴〈A1PE是A1P和平面D1ABC1所成角，
设正方体棱长为1，
A1P=√5/2，
PE^2=A1P^2-A1E^2=5/4-2/4=3/4,
PE=√3/2，
∴tan〈A1PE=A1E/PE=（√2/2）/（√3/2）=√6/3。
直线A1P与平面D1ABC1所成角的正切值为√6/3。