Question

一道选择，导数题、急！求详解，帮帮忙哦！

已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1)=0,f'(x)是f(x)的导函数，当x>0时，总有xf'(x)<f(x)成立，则不等式f(x)>0的解集是
答案是x<-1或0<x<1
亲们，来了就别混场好不好？答案我知道，我要的是详细过程！不是一句有的没的废话！

Answer 1

因为 f(x)是定义在R上的奇函数，所以 f(0)=0，从而 x=0不是f(x)>0的解。
当x≠0时，令g(x)=f(x)/x，则g'(x)=[xf'(x)-f(x)]/x²，
当x>0时，有x'f(x)-f(x)<0，从而g'(x)<0，
所以 g(x)在（0，+∞）上是减函数。
由于f(x)是奇函数，所以 g(x)=f(x)/x是偶函数。
（1）当x>0时，不等式 f(x)>0 可化为 xg(x)>0，即g(x)>0
而 g(1)=f(1)/1=0，所以不等式化为 g(x)>g(1)
由于g(x)在（0，+∞）上是减函数，所以 0<x<1
（2）当x<0时，不等式 f(x)>0 可化为 xg(x)>0，即g(x)<0
而 g(-1)=g(1)=0，所以不等式化为 g(x)<g(-1)
又因为偶函数在原点两侧单调性相反，所以
g(x)在（-∞，0）上是增函数，所以 x<-1
由（1）（2）知，不等式的解集是{x|x<-1或0<x<1}

Answer 2

f(x)是定义在R上的奇函数,f(0)=0

Answer 3

0<x<1